2019年四川省凉山市金阳县中考数学模拟试卷(含答案解析)

发布时间:2021-10-20 13:40:44

2019 年四川省凉山市金阳县中考数学模拟试卷

一.选择题(共 12 小题,满分 48 分,每小题 4 分)

1.下列实数 0, , ,π,其中,无理数共有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

2.将一副三角板(∠A=30°)按如图所示方式摆放,使得 AB∥EF,则∠1 等于( )

A.75°

B.90°

C.105°

D.115°

3.如图,在数轴上,点 A 表示的数是 2,△OAB 是 Rt△,∠OAB=90°,AB=1,现以点 O 为圆心,线段

OB 长为半径画弧,交数轴负半轴于点 C,则点 C 表示的实数是( )

A.﹣

B.﹣

C.﹣3

D.﹣2

4.如图,在△ABC 中,BC>AB>AC.甲、乙两人想在 BC 上取一点 P,使得∠APC=2∠ABC,其作法如下:

(甲)作 AB 的中垂线,交 BC 于 P 点,则 P 即为所求;

(乙)以 B 为圆心,AB 长为半径画弧,交 BC 于 P 点,则 P 即为所求.

对于两人的作法,下列判断何者正确?( )

A.两人皆正确

B.两人皆错误

C.甲正确,乙错误

D.甲错误,乙正确

5.下列事件中必然发生的事件是( )

A.一个图形*移后所得的图形与原来的图形不全等

B.不等式的两边同时乘以一个数,结果仍是不等式

C.200 件产品中有 5 件次品,从中任意抽取 6 件,至少有一件是正品

D.随意翻到一本书的某页,这页的页码一定是偶数

6.在实数范围内把二次三项式 x2+x﹣1 分解因式正确的是( )

A.(x﹣

)(x﹣



B.(x﹣

)(x+



C.(x+

)(x﹣



D.(x+

)(x+



7.已知 α、β 是方程 x2﹣2x﹣4=0 的两个实数根,则 α3+8β+6 的值为( )

A.﹣1

B.2

C.22

D.30

8.某车间 20 名工人每天加工零件数如表所示:

每天加工零 4

5

6

7

8

件数

人数

3

6

5

4

2

这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是( )

A.5,5

B.5,6

C.6,6

D.6,5

9.一张矩形纸片在太阳光线的照射下,形成影子不可能是( )

A.*行四边形

B.矩形

C.正方形

D.梯形

10.如图,在小山的东侧 A 点有一个热气球,由于受风的影响,以 30 米/分的速度沿与地面成 75°角的方向

飞行,25 分钟后到达 C 处,此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的俯角为 30°,则小山东西两侧 A,B 两

点间的距离为( )米.

A.750

B.375

C.375

D.750

11.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,且 AB=3,BC=5,⊙A 与 BC 相切于点 D,交 AB 于点 E,交 AC

于点 F,则图中阴影部分的面积为( )

A.12﹣ π

B.12﹣ π

C.6﹣ π

D.6﹣ π

12.如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(﹣1,0),B(3,0).下列结论:①2a﹣b=0;

②(a+c)2<b2;③当﹣1<x<3 时,y<0;④当 a=1 时,将抛物线先向上*移 2 个单位,再向右*移 1 个单位,得到抛物线 y=(x﹣2)2﹣2.其中正确的是( )

A.①③

B.②③

C.②④

二.填空题(共 5 小题,满分 20 分,每小题 4 分)

D.③④

13.若代数式

有意义,则实数 x 的取值范围是



14.如图,将长方形纸片 ABCD 沿直线 EN、EM 进行折叠后(点 E 在 AB 边上),B′点刚好落在 A′E 上,

若折叠角∠AEN=30°15′,则另一个折叠角∠BEM=



15.如图△ABC 是坐标纸上的格点三角形,试写出△ABC 外接圆的圆心坐标



16.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 垂直*分半径 OA,AB=6,则 BC 的长是



17.从满足不等式﹣3<x<3 的所有整数中任意取一个数记作 a,则关于 x 的一元二次方程 x2﹣(a﹣1)

x+

有两个不相等的实数根的概率是



三.解答题(共 5 小题,满分 32 分)

18.计算:(3.14﹣π)0+|1﹣ |+(﹣ )﹣1﹣2sin60°.

19.当 x 是不等式组

的正整数解时,求多项式(1﹣3x)(1+3x)+(1+3x)2+(﹣x2)3÷x4

的值. 20.如图,现将*行四边形 ABCD *涠越窍 AC 折叠,使点 B 落在点 B′处.AB′与 CD 交于点 E.
(1)求证:△AED≌△CEB′; (2)过点 E 作 EF⊥AC 交 AB 于点 F,连接 CF,判断四边形 AECF 的形状并给予证明.

21.现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等,视力日渐减退,我市为了解学生的视力变化情况,从 全市八年级随机抽取了 1200 名学生,统计了每个人连续三年视力检查的结果,根据视力在 4.9 以下的人数 变化制成折线统计图,并对视力下降的主要因素进行调查,制成扇形统计图.

解答下列问题:

(1)图中“其他”所在扇形的圆心角度数为



(2)若 2016 年全市八年级学生共有 24000 名,请你估计视力在 4.9 以下的学生约有多少名?

(3)根据扇形统计图信息,你认为造成中学生视力下降最主要的因素是什么,你觉得中学生应该如何保护

视力?

22.如图,已知反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=x+b 的图象交于点 A(1,4),点 B(﹣4,n).

(1)求 n 和 b 的值; (2)求△OAB 的面积; (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 x 的取值范围.

四.填空题(共 2 小题,满分 10 分,每小题 5 分)

23.化简:2<x<4 时,







24.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,BC=5,AB=3,点 D 是线段 BC 上一动点,连接 AD,以 AD 为

边作△ADE∽△ABC,点 N 是 AC 的中点,连接 NE,当线段 NE 最短时,线段 CD 的长为



五.解答题(共 4 小题,满分 40 分) 25.已知 Rt△ABC,∠BAC=90°,点 D 是 BC 中点,AD=AC,BC=4 ,过 A,D 两点作⊙O,交 AB 于
点 E, (1)求弦 AD 的长; (2)如图 1,当圆心 O 在 AB 上且点 M 是⊙O 上一动点,连接 DM 交 AB 于点 N,求当 ON 等于多少时, 三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形? (3)如图 2,当圆心 O 不在 AB 上且动圆⊙O 与 DB 相交于点 Q 时,过 D 作 DH⊥AB(垂足为 H)并交⊙O 于点 P,问:当⊙O 变动时 DP﹣DQ 的值变不变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.

26.我们知道不等式的两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似 的性质呢?请解答下列问题. (1)完成下列填空:

已知

用“<”或“>”填空

5+2

3+1

﹣3﹣1

﹣5﹣2

1﹣2

4+1

(2)一般地,如果

那么 a+c

b+d(用“<”或“>”填空).请你说明上述性质的正确性.

27.某宾馆有若干间住房,住宿记录提供了如下信息: (1)4 月 17 日全部住满,一天住宿费收入为 12000 元; (2)4 月 18 日有 20 间房空着,一天住宿费收入为 9600 元; (3)该宾馆每间房每天收费标准相同. ①一个分式方程,求解该宾馆共有多少间住房,每间住房每天收费多少元? ②通过市场调查发现,每间住房每天的定价每增加 10 元,就会有 5 个房间空闲;已知该宾馆空闲房间每 天每间支出费用 10 元,有顾客居住房间每天每间支出费用 20 元,问房价定为多少元时,该宾馆一天的利 润为 11000 元?(利润=住宿费收入﹣支出费用) ③在(2)的计算基础上,你能发现房价定为多少元时,该宾馆一天的利润最大?请直接写出结论.
28.如图,已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 与一直线相交于 A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与 y 轴交于点 N,其顶 点为 D. (1)求抛物线及直线 AC 的函数关系式; (2)若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标; (3)在对称轴上是否存在一点 M,使△ANM 的周长最小.若存在,请求出 M 点的坐标和△ANM 周长的 最小值;若不存在,请说明理由.

2019 年四川省凉山市金阳县中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析
一.选择题(共 12 小题,满分 48 分,每小题 4 分) 1.【分析】根据无理数的定义解答即可.

【解答】解:下列实数 0, , ,π,其中,无理数有 ,π,

故选:B. 【点评】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学*的无理数有:π,2π 等;开方开不尽的数; 以及像 0.1010010001…,等有这样无限不循环小数. 2.【分析】依据 AB∥EF,即可得∠BDE=∠E=45°,再根据∠A=30°,可得∠B=60°,利用三角形外 角性质,即可得到∠1=∠BDE+∠B=105°. 【解答】解:∵AB∥EF, ∴∠BDE=∠E=45°, 又∵∠A=30°, ∴∠B=60°, ∴∠1=∠BDE+∠B=45°+60°=105°, 故选:C. 【点评】本题主要考查了*行线的性质,解题时注意:两直线*行,内错角相等. 3.【分析】直接根据勾股定理,结合数轴即可得出结论. 【解答】解:∵在 Rt△AOB 中,OA=2,AB=1,

∴OB=

=.

∵以 O 为圆心,以 OB 为半径画弧,交数轴的正半轴于点 C, ∴OC=OB= , ∴点 C 表示的实数是﹣ . 故选:B. 【点评】本题考查的是实数与数轴以及复杂作图,熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关 键. 4.【分析】根据甲乙两人作图的作法利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可证出结论. 【解答】解:如图 1,

由甲的作图知 PQ 垂直*分 AB, 则 PA=PB, ∴∠PAB=∠PBA, 又∠APC=∠PAB+∠PBA, ∴∠APC=2∠ABC, 故甲的作图正确; 如图 2,
∵AB=BP, ∴∠BAP=∠APB, ∵∠APC=∠BAP+∠ABC, ∴∠APC≠2∠ABC, ∴乙错误; 故选:C. 【点评】本题考查了线段的垂直*分线的性质,三角形外角的性质,正确的理解题意是解题的关键. 5.【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案. 【解答】解:A、一个图形*移后所得的图形与原来的图形不全等,是不可能事件,故此选项错误; B、不等式的两边同时乘以一个数,结果仍是不等式,是随机事件,故此选项错误; C、200 件产品中有 5 件次品,从中任意抽取 6 件,至少有一件是正品,是必然事件,故此选项正确; D、随意翻到一本书的某页,这页的页码一定是偶数,是随机事件,故此选项错误; 故选:C. 【点评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件,正确把握相关定义是解题关键. 6.【分析】令二次三项式等于 0,求出 x 的值,即可得到分解因式的结果. 【解答】解:令 x2+x﹣1=0,

解得:x1=

,x2=



则 x2+x﹣1=(x﹣

)(x﹣

)=(x﹣

)(x+

).

故选:B. 【点评】此题考查了实数范围内分解因式,求根公式法当首项系数不是 1 时,往往需要多次试验,务必注 意各项系数的符号.注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式.

7.【分析】根据求根公式 x=

求的 α、β 的值,然后将其代入所求,并求值.

【解答】解:∵α、β 是方程 x2﹣2x﹣4=0 的两个实数根, ∴α+β=2,α2﹣2α﹣4=0, ∴α2=2α+4 ∴α3+8β+6=α?α2+8β+6 =α?(2α+4)+8β+6 =2α2+4α+8β+6 =2(2α+4)+4α+8β+6 =8α+8β+14 =8(α+β)+14=30, 故选:D. 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解.解答本题时,采用了“公式法”. 8.【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可. 【解答】解:由表知数据 5 出现次数最多,所以众数为 5; 因为共有 20 个数据,
所以中位数为第 10、11 个数据的*均数,即中位数为 =6,
故选:B. 【点评】本题考查了众数和中位数的定义.用到的知识点:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据 的众数.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置 的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的*均数就是这组数据的中位 数. 9.【分析】根据*行投影的性质求解可得. 【解答】解:一张矩形纸片在太阳光线的照射下,形成影子不可能是梯形, 故选:D.

【点评】本题主要考查*行投影,解题的关键是掌握*行投影的性质. 10.【分析】作 AD⊥BC 于 D,根据速度和时间先求得 AC 的长,在 Rt△ACD 中,求得∠ACD 的度数,再求
得 AD 的长度,然后根据∠B=30°求出 AB 的长. 【解答】解:如图,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D, 在 Rt△ACD 中,∠ACD=75°﹣30°=45°, AC=30×25=750(米), ∴AD=AC?sin45°=375 (米). 在 Rt△ABD 中, ∵∠B=30°, ∴AB=2AD=750 (米). 故选:A.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三 角形,难度适中. 11.【分析】连接 AD,根据勾股定理求出 AC,根据三角形的面积公式求出 AD,根据三角形面积公式、扇形 面积公式计算即可. 【解答】解:连接 AD, 在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,

∴AC=

=4,

∵BC 是⊙A 的切线, ∴AD⊥BC,

△ABC 的面积= ×AB×AC= ×BC×AD,

解得,AD= ,

∴阴影部分的面积= ×AB×AC﹣ 故选:C.

=6﹣ π,

【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公 式是解题的关键. 12.【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案. 【解答】解:①图象与 x 轴交于点 A(﹣1,0),B(3,0),

∴二次函数的图象的对称轴为 x=

=1

∴ =1

∴2a+b=0,故①错误; ②令 x=﹣1, ∴y=a﹣b+c=0, ∴a+c=b, ∴(a+c)2=b2,故②错误; ③由图可知:当﹣1<x<3 时,y<0,故③正确; ④当 a=1 时, ∴y=(x+1)(x﹣3)=(x﹣1)2﹣4 将抛物线先向上*移 2 个单位,再向右*移 1 个单位, 得到抛物线 y=(x﹣1﹣1)2﹣4+2=(x﹣2)2﹣2,故④正确; 故选:D. 【点评】本题考查二次函数图象的性质,解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系,本题属于 中等题型. 二.填空题(共 5 小题,满分 20 分,每小题 4 分) 13.【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案.

【解答】解:∵代数式

有意义,

∴x+3≥0,且 x﹣2≠0, ∴实数 x 的取值范围是:x≥﹣3 且 x≠2.

故答案为:x≥﹣3 且 x≠2. 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握定义是解题关键. 14.【分析】由折叠性质得∠AEN=∠A′EN,∠BEM=∠B′EM,即可得出结果; 【解答】解:由折叠性质得:∠AEN=∠A′EN,∠BEM=∠B′EM, ∴∠A′EN=30°15′, ∠BEM= (180°﹣∠AEN﹣∠A′EN)= (180°﹣30°15′﹣30°15′)=59°45′, 故答案为:59°45′. 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题;灵活运用翻折变换的性质来分析、判断、推理是 解决问题的关键. 15.【分析】根据 C、B 的坐标求出 D 的纵坐标,设 D(a,2),根据 DA=DC 和勾股定理得出方程,求出 方程的解即可. 【解答】解:由图象可知 B(1,4),C(1,0), 根据△ABC 的外接圆的定义,圆心的纵坐标是 y=2, 设 D(a,2), 根据勾股定理得:DA=DC (1﹣a)2+22=42+(3﹣a)2 解得:a=5, ∴D(5,2). 故答案为:(5,2).
【点评】本题主要考查了对三角形的外接圆与外心,坐标与图形性质,勾股定理,垂径定理等知识点的理 解和掌握,能根据题意得出 D 点的纵坐标和得出方程是解此题的关键. 16.【分析】根据垂径定理得出 CD 的长,利用勾股定理解答即可. 【解答】解:AB 交 CD 于 E 点,连接 OC

∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD 垂直*分半径 OA,AB=6, ∴OE=1.5,OC=3,

∴CE=



∵BE=4.5,

∴BC=



故答案为:3 【点评】此题考查垂径定理,关键是根据垂径定理得出 CD 的长. 17.【分析】先根据方程有 2 个不相等的实数根得出 a 的取值范围,再根据概率公式计算可得.

【解答】解:∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣(a﹣1)x+

有两个不相等的实数根,

∴△=(a﹣1)2﹣4×1×

=﹣4a+7>0,

解得:a< , ∴在﹣3<x<3 的所有整数中任意取一个数记作 a,符合条件的 a 的值为﹣2、﹣1、0、1 这 4 个, 则该方程有有两个不相等的实数根的概率是 ,

故答案为: 【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= . 三.解答题(共 5 小题,满分 32 分) 18.【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,绝对值的代数意义,以及特殊角的三角函数值计算即 可得到结果. 【解答】解:原式=1+ ﹣1﹣4﹣ =﹣4. 【点评】此题考查了实数的运算,零指数幂、负整数指数幂,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握运算法 则是解本题的关键. 19.【分析】求出不等式组的解集,找出解集中的正整数解确定出 x 的值,原式利用*方差公式,完全*方 公式,以及幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到最简结果,把 x 的值代入计算即可求出值.

【解答】解:



由①得:x<2,由②得:x>﹣ ,
∴不等式组的解集为﹣ <x<2,
正整数 x 的值为 1, 则原式=1﹣9x2+1+6x+9x2﹣x2=﹣x2+6x+2=﹣1+6+2=7. 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,以及一元一次不等式组的整数解,熟练掌握运算法则是 解本题的关键. 20.【分析】(1)由题意可得 AD=BC=B'C,∠B=∠D=∠B',且∠AED=∠CEB',则结论可得; (2)由△AED≌△CEB′可得 AE=CE,且 EF⊥AC,根据等腰三角形的性质可得 EF 垂直*分 AC,∠AEF =∠CEF.即 AF=CF,∠CEF=∠AFE=∠AEF,可得 AE=AF,则可证四边形 AECF 是菱形. 【解答】证明:(1)∵四边形 ABCD 是*行四边形 ∴AD=BC,CD∥AB,∠B=∠D ∵折叠 ∴BC=B'C,∠B=∠B' ∴∠D=∠B',AD=B'C 且∠DEA=∠B'EC ∴△ADE≌△B'EC (2)四边形 AECF 是菱形 ∵△ADE≌△B'EC ∴AE=CE ∵AE=CE,EF⊥AC ∴EF 垂直*分 AC,∠AEF=∠CEF ∴AF=CF ∵CD∥AB ∴∠CEF=∠EFA 且∠AEF=∠CEF ∴∠AEF=∠EFA ∴AF=AE ∴AF=AE=CE=CF ∴四边形 AECF 是菱形 【点评】本题考查了折叠问题,全等三角形的判定和性质,*行四边形的性质,菱形的判定,熟练掌握这

些性质和判定是解决问题的关键. 21.【分析】(1)求出“其他”占的百分比,乘以 360 即可得到结果;
(2)求出 2015 年视力在 4.9 以下的百分比,乘以 24000 即可得到结果; (3)根据扇形统计图,得到学生视力下降的最主要的因素,写出建议,合理即可. 【解答】解:(1)根据题意得:360×(1﹣40%﹣25%﹣20%)=54°; 故答案为:54°;

(2)根据题意得:24000×

=16000(名),

则估计视力在 4.9 以下的学生约有 16000 名; (3)造成中学生视力下降最主要的因素是手机,应少看电视,远离手机. 【点评】此题考查了折线统计图,用样本估计总体,以及扇形统计图,弄清题中的数据是解本题的关键.

22.【分析】(1)把点 A 坐标分别代入反比例函数 y= ,一次函数 y=x+b,求出 k、b 的值,再把点 B 的

坐标代入反比例函数解析式求出 n 的值,即可得出答案; (2)求出直线 AB 与 y 轴的交点 C 的坐标,分别求出△ACO 和△BOC 的面积,然后相加即可; (3)根据 A、B 的坐标结合图象即可得出答案.

【解答】解:(1)把 A 点(1,4)分别代入反比例函数 y= ,一次函数 y=x+b,

得 k=1×4,1+b=4, 解得 k=4,b=3,

∵点 B(﹣4,n)也在反比例函数 y= 的图象上,

∴n= =﹣1;

(2)如图,设直线 y=x+3 与 y 轴的交点为 C, ∵当 x=0 时,y=3, ∴C(0,3), ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= ×3×1+ ×3×4=7.5;
(3)∵B(﹣4,﹣1),A(1,4), ∴根据图象可知:当 x>1 或﹣4<x<0 时,一次函数值大于反比例函数值.

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题,用待定系数法求函数的解析式,三角形的面积, 一次函数的图象等知识点,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目,用了数形结合思想. 四.填空题(共 2 小题,满分 10 分,每小题 5 分) 23.【分析】首先根据 x 的范围确定 x﹣2 与 x﹣4 的符号,然后利用算术*方根的定义,以及绝对值的性质即 可化简. 【解答】解:∵2<x<4, ∴x﹣2>0,x﹣4<0,

∴原式=



=|x﹣2|﹣|x﹣4| =x﹣2﹣(4﹣x) =x﹣2﹣4+x =2x﹣6. 故答案为:2x﹣6. 【点评】本题考查了二次根式的化简,正确理解算术*方根的性质是关键. 24.【分析】如图,连接 EC,作 AH⊥BC 于 H.首先证明 EC⊥BC,推出 EN⊥EC 时,EN 的值最小,解直 角三角形求出 CH,DH 即可解决问题; 【解答】解:如图,连接 EC,作 AH⊥BC 于 H.

∵△ABC∽△ADE, ∴∠AED=∠ACD, ∴A,D,C,E 四点共圆, ∴∠DAE+∠DCE=180°, ∴∠DCE=∠DAE=90°,

∴EC⊥BC, ∴NE⊥EC 时,EN 的值最小,作 AG⊥CE 交 CE 的延长线于 G. 在 Rt△ABC 中,∵BC=5,AB=3, ∴AC=4, ∵△ENC∽△△ACB, ∴=,

∴ =,

∴EC= ,

∴AH=CG=

= ,CH=AG= ,

∵NE∥AG,AN=NC,

∴GE=EC= ,

∵∠HAG=∠DAE, ∴∠DAH=∠EAG,∵∠AHD=∠G=90°, ∴△AHD∽△AGE,

∴=,

∴ =,

∴DH= ,
∴CD=DH+CH= .
故答案为 . 【点评】本题考查相似三角形的性质、勾股定理、垂线段最短、四点共圆等知识,解题的关键是熟练掌握 基本知识,属于中考填空题中的压轴题. 五.解答题(共 4 小题,满分 40 分) 25.【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到 AD 的长; (2)连 DE、ME,易得当 ED 和 EM 为等腰三角形 EDM 的两腰,根据垂径定理得推论得 OE⊥DM,易得 到△ADC 为等边三角形,得∠CAD=60°,则∠DAO=30°,∠DON=60°,然后根据含 30°的直角三 角形三边的关系得 DN= AD= ,ON= DN=1;

当 MD=ME,DE 为底边,作 DH⊥AE,由于 AD=2 ,∠DAE=30°,得到 DH= ,∠DEA=60°, DE=2,于是 OE=DE=2,OH=1, 又∠M=∠DAE=30°,MD=ME,得到∠MDE=75°,则∠ADM=90°﹣75°=15°,可得到∠DNO= 45°,根据等腰直角三角形的性质得到 NH=DH= ,则 ON= ﹣1; (3)连 AP、AQ,DP⊥AB,得 AC∥DP,则∠PDB=∠C=60°,再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB, ∠AQC=∠P,则∠PAQ=60°,∠CAQ=∠PAD,易证得△AQC≌△APD,得到 DP=CQ,则 DP﹣DQ=CQ﹣DQ=CD,而△ADC 为等边三角形,CD=AD=2 ,即可得到 DP﹣DQ 的 值. 【解答】解:(1)∵∠BAC=90°,点 D 是 BC 中点,BC=4 , ∴AD= BC=2 ;
(2)连 DE、ME,如图,∵DM>DE, 当 ED 和 EM 为等腰三角形 EDM 的两腰, ∴OE⊥DM, 又∵AD=AC, ∴△ADC 为等边三角形, ∴∠CAD=60°, ∴∠DAO=30°, ∴∠DON=60°, 在 Rt△ADN 中,DN= AD= ,
在 Rt△ODN 中,ON= DN=1, ∴当 ON 等于 1 时,三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形; 当 MD=ME,DE 为底边,如图 3,作 DH⊥AE, ∵AD=2 ,∠DAE=30°, ∴DH= ,∠DEA=60°,DE=2, ∴△ODE 为等边三角形, ∴OE=DE=2,OH=1, ∵∠M=∠DAE=30°, 而 MD=ME, ∴∠MDE=75°,

∴∠ADM=90°﹣75°=15°, ∴∠DNO=45°, ∴△NDH 为等腰直角三角形, ∴NH=DH= , ∴ON= ﹣1; 综上所述,当 ON 等于 1 或 ﹣1 时,三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形; (3)当⊙O 变动时 DP﹣DQ 的值不变,DP﹣DQ=2 .理由如下: 连 AP、AQ,如图 2, ∵∠C=∠CAD=60°, 而 DP⊥AB, ∴AC∥DP, ∴∠PDB=∠C=60°, 又∵∠PAQ=∠PDB, ∴∠PAQ=60°, ∴∠CAQ=∠PAD, ∵AC=AD,∠AQC=∠P, ∴△AQC≌△APD, ∴DP=CQ, ∴DP﹣DQ=CQ﹣DQ=CD=2 .

【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理:*分弧的直径垂直弧所对的弦;在同圆和等圆中,相等的弧 所对的圆周角相等.也考查了等腰三角形的性质以及含 30°的直角三角形三边的关系. 26.【分析】(1)根据不等式的性质即可判断; (2)利用(1)中规律即可判断,根据不等式的性质即可证明; 【解答】解:(1)5+2>3+1,﹣3﹣1>﹣5﹣2,1﹣2<4+1; 故答案为>,>,<; (2)结论:a+c>b+d. 理由:因为 a>b,所以 a+c>b+c, 因为 c>d,所以 b+c>b+d, 所以 a+c>b+d. 故答案为>. 【点评】本题考查不等式的性质、解题的关键是熟练掌握不等式的性质解决问题,属于中考常考题型.

27.【分析】①设每间住房每天收费 x 元,由信息(1)可知该宾馆共有住房

间,由信息(2)可知该

宾馆有顾客居住的房间

间,根据该宾馆的住房间数不变列出分式方程,求解即可;

②根据利润的计算方法,设每间房的房价为 y 元,分别表示每间利润和住房间数及支出费用,根据该宾馆 一天的利润为 11000 元得方程求解; ③设房价定为每间 a 元时,该宾馆一天的利润为 w 元,根据利润的计算方法,列出 w 关于 a 的函数关系式, 再根据函数的性质即可求解. 【解答】解:①设每间住房每天收费 x 元,根据题意,得



+20,

解得 x=120, 经经验,x=120 是原方程的根. 12000÷120=100. 答:该宾馆共有 100 间住房,每间住房每天收费 120 元;

②设每间房的房价为 y 元,根据题意,得

(y﹣20)(100﹣

×5)﹣10×

×5=11000,

解得:y1=160,y2=170. 答:房价定为 160 元或 170 元时,该宾馆一天的利润为 11000 元;

③设房价定为每间 a 元时,该宾馆一天的利润为 w 元,根据题意,得

w=(a﹣20)(100﹣

×5)﹣10×

×5

=﹣ a2+165a﹣2600

=﹣ (a﹣165)2+11012.5,

∴当房价定为 165 元时,该宾馆一天的利润最大,为 11012.5 元. 【点评】本题考查了分式方程的应用以及二次函数的应用,运用二次函数知识求最值问题,常常用公式法 或配方法求解. 28.【分析】(1)根据点 A,C 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线及直线 AC 的函数关系式; (2)过点 P 作 PE∥y 轴交 x 轴于点 E,交直线 AC 于点 F,过点 C 作 CQ∥y 轴交 x 轴于点 Q,设点 P 的 坐标为(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),则点 E 的坐标为(x,0),点 F 的坐标为(x,﹣x+1),进而 可得出 PF 的值,由点 C 的坐标可得出点 Q 的坐标,进而可得出 AQ 的值,利用三角形的面积公式可得出

S△APC=﹣ x2﹣ x+3,再利用二次函数的性质,即可解决最值问题;

(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 N 的坐标,利用配方法可找出抛物线的对称轴,由点 C, N 的坐标可得出点 C,N 关于抛物线的对称轴对称,令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M,则此时△ ANM 周长取最小值,再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点 M 的坐标,以及利用两点间的距离公式 结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论. 【解答】解:(1)将 A(1,0),C(﹣2,3)代入 y=﹣x2+bx+c,得:

,解得:



∴抛物线的函数关系式为 y=﹣x2﹣2x+3; 设直线 AC 的函数关系式为 y=mx+n(m≠0), 将 A(1,0),C(﹣2,3)代入 y=mx+n,得:

,解得:



∴直线 AC 的函数关系式为 y=﹣x+1. (2)过点 P 作 PE∥y 轴交 x 轴于点 E,交直线 AC 于点 F,过点 C 作 CQ∥y 轴交 x 轴于点 Q,如图 1 所 示. 设点 P 的坐标为(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),则点 E 的坐标为(x,0),点 F 的坐标为(x,﹣x+1), ∴PE=﹣x2﹣2x+3,EF=﹣x+1, EF=PE﹣EF=﹣x2﹣2x+3﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x+2.

∵点 C 的坐标为(﹣2,3), ∴点 Q 的坐标为(﹣2,0), ∴AQ=1﹣(﹣2)=3, ∴S△APC= AQ?PF=﹣ x2﹣ x+3=﹣ (x+ )2+ .
∵﹣ <0,

∴当 x=﹣ 时,△APC 的面积取最大值,最大值为 ,此时点 P 的坐标为(﹣ , ).

(3)当 x=0 时,y=﹣x2﹣2x+3=3, ∴点 N 的坐标为(0,3). ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4, ∴抛物线的对称轴为直线 x=﹣1. ∵点 C 的坐标为(﹣2,3), ∴点 C,N 关于抛物线的对称轴对称. 令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M,如图 2 所示. ∵点 C,N 关于抛物线的对称轴对称, ∴MN=CM, ∴AM+MN=AM+MC=AC, ∴此时△ANM 周长取最小值. 当 x=﹣1 时,y=﹣x+1=2, ∴此时点 M 的坐标为(﹣1,2). ∵点 A 的坐标为(1,0),点 C 的坐标为(﹣2,3),点 N 的坐标为(0,3),

∴AC=

=3 ,AN=

=,

∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=3 + . ∴在对称轴上存在一点 M(﹣1,2),使△ANM 的周长最小,△ANM 周长的最小值为 3 + .

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的 坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长,解题的关键是:(1) 根据点的坐标,利用待定系数法求出抛物线及直线 AC 的函数关系式;(2)利用三角形的面积公式找出 S △APC=﹣ x2﹣ x+3;(3)利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点 M 的位置.


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